En collaboration avec Denis Serre, j'ai considéré les conditions aux limites "résiduelles " fournies par un schéma numérique, c'est-à-dire nous avons étudié ce que devient la condition aux limites posée pour un schéma numérique lorsque le pas d'espace tend vers zéro. A l'aide d'estimations sur les entropies, nous avons démontré, sous certaines hypothèses, la convergence de la solution du schéma de Godunov adapté au cas d'un domaine x>0 vers la solution d'un système hyperbolique mixte sur un intervalle de temps fini, antérieur à la formation des chocs. Ce travail a été accepté à Modélisation Mathématique et Numérique.
J'ai effectué un travail en commun avec Thierry Colin sur un problème mixte avec l'équation de Korteweg-de Vries. Nous avons étudié un problème de Cauchy et aux limites pour l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un d'espace, obtenu des effets régularisants globaux uniformes par rapport à la longueur de l'intervalle et montré que la solution du problème aux limites converge, lorsque la longueur de l'intervalle tend vers l'infini, vers la solution du problème posé sur le quart de plan t>0, x>0. Nous avons aussi proposé, un schéma aux différences finies très simple pour le problème sur (0,1) et montré sa stabilité.
B. Perthame et E. Tadmor ont montré au début des
années 1990 qu'il est possible d'interpréter une loi de
conservation scalaire multidimensionnelle comme limite fluide d'une
famille d'équations cinétiques non linéaires, le paramètre
microscopique étant l'analogue d'un libre parcours moyen.
J. P. Vila, A. Nouri et A. Omrane ont étendu ce
résulat au cas d'un demi-espace : ils ont pu ainsi retrouver la
condition de Bardos-Leoux-Nédélec sur les conditions de bord
admissibles pour une loi de conservation scalaire.
Un travail en
collaboration avec Christian
Bourdarias et A. Omrane
(Université des Antilles-Guyanes) traite le problème de
conditions aux limites de transmission pour le problème cinétique
avec des paramètres microscopiques disctincts (cas de deux
demi-espaces) et le passage à la limite fluide dans l'un des
demi-espaces ou dans les deux (avec des paramètres de rapports
bornés).
La modélisation d'une phase du cycle d'adsorption d'un mélange
gazeux à température constante, appelé cycle P.S.A. (Pressure
Swing Adsorption), conduit à l'écriture d'un système non linéaire
d'équations de type transport. Ces équations présentent des
analogies avec les lois de conservation scalaires mais elles s'en
distinguent par le type de liaison entre la vitesse et la solution.
Parmi les problèmes relatifs aux processus d'adsorption des gaz,
outre le problème non-isotherme, le cas de l'adsorption avec
équilibre instantané entre les phases gazeuse et solide présente
un intérêt dans la mesure où il généralise les équations de la
chromatographie (dans lesquelles la vitesse du fluide vecteur est
constante). Il conduit (formellement) à écrire un système
hyperbolique intégro-différentiel issu donc du génie chimique dont
l'étude est totalement ouverte.
Un cas particulier de 2
composantes dont l'un, inerte, sert de fluide vecteur a donné lieu
avec Christian
Bourdarias et Stéphane
Junca (Universite de Nice) à un papier en 2006 dans Journal of
Mathematical Analysis and Applications et un article plus général
"Existence of weak entropy solutions for gas chromatography
system with one or two active species and non convex isotherms"
a été accepté dans Communications in Mathematical Sciences (CMS,
Vol 5, No. 1, mars 2007). Un article de synthèse a été accepté en
2008 : ''hyperbolic models in gas solid chromatography'' dans Boletin
de la Sociedad Espanola de Mathematica Applicada, puis deux autres
articles ont suivi en 2010 : « Blow
up at the hyperbolic boundary for a 2x2 system arising from chemical
engineering» dans J. Hyperbolic Differ. Equ., « Strong
Stability with respect to weak limit for a Hyperbolic System arising
from Gas Chromatography » dans Methods Appl. Anal., un en 2014
« Fractional BV spaces and applications to scalar
conservation laws » dans Journal of Hyperbolic Differential
Equations et un avec Y.-J Peng en 2016 « Eulerian and
Lagrangian formulations in BV^s for gas-solid chromatography »
dans Commun. Math. Sci.. Un article « Kinetic formulation of a
2x2 hyperbolic system arising in gas chromatography » arXiv.org
math arXiv:1702.05949 a été soumis. Nous
travaillons actuellement sur une approche nouvelle qui offre des
résultats et des perspectives riches : relaxation, oscillations et
aussi au cas non isotherme.
Avec B. Bidegaray (LJK Grenoble), F. Castella (IRMAR, Rennes) et E. Dumas (Institut Fourier, Grenoble) nous avons regardé l'aymptotique de modèles quantiques sur le modèle de Schrodinger-Bloch, traité le problème de Cauchy local et global dans le cas adiabatique ainsi que la convergence vers les équations de taux.
Un travail de recherche avec Christian Bourdarias et S. Gerbi a été effectué sur les formulations cinétique et numérique pour des écoulements mixtes à surface libre et en charge dans un canal de forme quelconque avec une prise en compte du terme source lié a la pente. En effet, une approche cinétique des équations de Saint Venant modélisant les écoulements 1D a surface libre en canal rectangulaire a été proposé par B. Perthame et C. Simeoni. Ces auteurs proposent alors un schéma cinétique intégrant le terme de pente dans le flux et respectant l'état au repos. Suivant cette même approche nous avons envisagé le cas d'un canal de forme quelconque puis nous avons construit un modèle cinétique analogue pour les écoulements en charge et en avons présenté quelques propriétés. Cette modélisation permet de bâtir un schéma numérique possédant des propriétés théoriques intéressantes en particulier satisfaisant des inégalités d'entropies. L'enjeu est de traiter par cette méthode les écoulements "mixtes" en conduite fermée (i.e. tantôt en charge et tantôt a surface libre) en prenant en compte dans le schéma les discontinuités du gradient de pression à chaque passage d'un type d'écoulement à l'autre.
Avec D. Bresch et C.K. Lin, travail accepté dans M2AN nous avons donné un exemple de limite faible nombre de Mach (Froude) d'écoulements compressibles quand la densité initiale (hauteur) est pratiquement égale a une fonction connue dépendant de la variable d'espace x. On établit alors mathématiquement le lien entre des equations de type Saint-Venant visqueuses et des équations visqueuses utilisées pour simuler l'écoulement dans les grands lacs. Plus précisément, on justifie cette asymptotique avec des données bien préparées dans un domaine periodique en observant l'influence de la variabilité du fond b. On suppose le fond b strictement positif. Ce résultat concerne les solutions faibles des équations de Saint-Venant visqueuses. Il faut donc faire attention la possible dégénérescence de la hauteur h. Dans une deuxieme partie, on discute rapidement de la limite faible nombre de Mach pour les écoulements compressibles standarts. Les travaux restants a faire sont multiples : considérer le cas de données mal préparées, permettre au fond b de s'annuler.
Avec D. Bresch (LAMA Chambéry), B. Desjardins (ENS Ulm) et R. et R. Sart (Clermont Ferrand) nous avons étudié les effets de la tension de surface sur un mélange compressible. Dans une première partie, nous avons décrit les résultats obtenus sur les modèles de Korteweg et les modèles de Saint-Venant. Nous avons étudié l'influence des termes diffusifs et des termes de tension de surface sur des phénomènes d'instabilités. Nous avons étudié les modèles de type interface diffuses sous l'effet d'une instabilité de type Rayleigh-Taylor. Nous avons donné ainsi des résultats de stabilité pour un modèle compressible de Korteweg en exploitant des inégalités d »énergie. Ces modèles permettent l'étude de l'effet de capillarité sur des modèles de mélanges turbulents pour les plasmas.